שאלת סיכום 1 – היפרבולה, משיק ואסימפטוטותהנדסה אנליטית 572 · שיעור 96
📝 שאלה ברמת בגרות 5 יחידות
שיעור 96 – שאלת סיכום 1 – היפרבולה, משיק ואסימפטוטות
פרק 9 – היפרבולה
1נוסח השאלה
2סעיף א – משוואת ההיפרבולה
3סעיף ב – המשיק ונקודת ההשקה
4סעיף ג – P אמצע הקטע DE
5סעיף ד – שטח המשולש ODE
6סעיף ה – המרחקים מהמוקדים
📄 נוסח השאלה
אחת האסימפטוטות של היפרבולה קנונית היא y = 34x , ואחד מקודקודי ההיפרבולה הוא (4 , 0) .
א. מצאו את משוואת ההיפרבולה.
ב. ישר ששיפועו 54 משיק להיפרבולה ברביע הראשון. מצאו את משוואת המשיק ואת נקודת ההשקה P .
ג. המשיק חותך את האסימפטוטה y = 34x בנקודה D ואת האסימפטוטה השנייה בנקודה E . הראו ש־P היא אמצע הקטע DE .
📄 נוסח השאלה · המשך
ד. חשבו את שטח המשולש ODE (O – ראשית הצירים).
ה. F1 ו־F2 הם מוקדי ההיפרבולה. חשבו את PF2 ואת PF1 .
סעיף א – משוואת ההיפרבולה
הקודקוד (4 , 0) נותן a = 4 . מהאסימפטוטה:
ba = 34
📐 אסימפטוטות של היפרבולה
נציב a = 4 :
b4 = 34 ⇒ b = 3
x216 − y29 = 1
📐 היפרבולה קנונית
✅ פתרון סופי: x216 − y29 = 1
📐 אסימפטוטות של היפרבולה
y = ± ba x
📐 היפרבולה קנונית
x2a2 − y2b2 = 1
c2 = a2 + b2
מוקדים (±c , 0)
c2 = a2 + b2
מוקדים (±c , 0)
סעיף ב – המשיק ונקודת ההשקה
המשיק: y = 54x + n . כופלים את משוואת ההיפרבולה ב־144:
9x2 − 16y2 = 144
נוח לכתוב 16y2 = (4y)2 . מהישר: 4y = 5x + 4n . נציב:
9x2 − (5x + 4n)2 = 144
9x2 − (25x2 + 40nx + 16n2) = 144
−16x2 − 40nx − 16n2 − 144 = 0
סעיף ב – המשיק ונקודת ההשקה · המשך
−16x2 − 40nx − 16n2 − 144 = 0
מחלקים ב־(−8) :
2x2 + 5nx + 2n2 + 18 = 0
משיק – נקודה משותפת אחת:
(5n)2 − 4 · 2 · (2n2 + 18) = 0
📐 ישר משיק לעקומה
25n2 − 16n2 − 144 = 0
📐 ישר משיק לעקומה
מציבים את הישר במשוואת העקומה; משיק = נקודה משותפת אחת
b2 − 4ac = 0
b2 − 4ac = 0
סעיף ב – המשיק ונקודת ההשקה · המשך
25n2 − 16n2 − 144 = 0
9n2 = 144 ⇒ n2 = 16 ⇒ n = ±4
נמצא את נקודת ההשקה עבור כל ערך. נכתוב את המשוואה הריבועית ונסמן את n :
2x2 + 5nx + 2n2 + 18 = 0
נציב n = −4 :
2x2 − 20x + 50 = 0
סעיף ב – המשיק ונקודת ההשקה · המשך
2x2 − 20x + 50 = 0
x2 − 10x + 25 = 0
(x − 5)2 = 0 ⇒ x = 5
y = 54 · 5 − 4 = 94
הנקודה (5 , 94) ברביע הראשון – זה המשיק המבוקש. (עבור n = 4 מקבלים x = −5 , y = −94 – ברביע השלישי.)
✅ פתרון סופי: y = 54x − 4 , P(5 , 94)
סעיף ג – P אמצע הקטע DE
הנקודה D – חיתוך המשיק עם y = 34x . משווים:
54x − 4 = 34x
📐 מצב הדדי בין ישר לעקומה
24x = 4 ⇒ x = 8
y = 34 · 8 = 6 ⇒ D(8 , 6)
הנקודה E – חיתוך המשיק עם y = −34x :
54x − 4 = −34x
📐 מצב הדדי בין ישר לעקומה
במשוואה הריבועית שמתקבלת:
b2 − 4ac > 0 – שתי נקודות חיתוך
b2 − 4ac = 0 – משיק
b2 − 4ac < 0 – אין נקודות משותפות
b2 − 4ac > 0 – שתי נקודות חיתוך
b2 − 4ac = 0 – משיק
b2 − 4ac < 0 – אין נקודות משותפות
סעיף ג – P אמצע הקטע DE · המשך
54x − 4 = −34x
2x = 4 ⇒ x = 2
y = −34 · 2 = −32 ⇒ E(2 , −32)
נכתוב את נוסחת אמצע קטע ונסמן את מה שנציב:
xM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
📐 אמצע קטע
נציב D(8 , 6) ו־E(2 , −32) :
📐 אמצע קטע
xM = x1 + x22 , yM = y1 + y22
סעיף ג – P אמצע הקטע DE · המשך
נציב D(8 , 6) ו־E(2 , −32) :
xM = 8 + 22 = 5
yM = 6 + (−32)2 = 922 = 94
אמצע הקטע DE הוא (5 , 94) – בדיוק הנקודה P . (זו תכונה של כל היפרבולה: נקודת ההשקה היא אמצע הקטע שהאסימפטוטות חותכות מהמשיק.)
בסקיצה: ההיפרבולה בכחול, האסימפטוטות בסגול מקווקו, המשיק בירוק והמשולש ODE באפור.
✅ פתרון סופי: D(8 , 6) , E(2 , −32) , האמצע (5 , 94) = P
סעיף ד – שטח המשולש ODE
ניקח את DE כבסיס ואת המרחק של O מהמשיק כגובה. אורך הבסיס:
DE = √(8 − 2)2 + (6 + 32)2
📐 מרחק בין שתי נקודות
DE = √36 + 2254 = √3694 = 3√412
הגובה: המשיק בצורה כללית (כופלים ב־4): 5x − 4y − 16 = 0 . נכתוב את נוסחת המרחק ונסמן את מה שנציב:
d = |5x0 − 4y0 − 16|√52 + (−4)2
📐 מרחק נקודה מישר
נציב את O(0 , 0) :
📐 מרחק בין שתי נקודות
d = √(x1 − x2)2 + (y1 − y2)2
📐 מרחק נקודה מישר
d = |Ax0 + By0 + C|√A2 + B2
סעיף ד – שטח המשולש ODE · המשך
נציב את O(0 , 0) :
d = |5 · 0 − 4 · 0 − 16|√41 = 16√41
S = DE · d2
📐 שטח משולש
S = 12 · 3√412 · 16√41
S = 3 · 164 = 12
שימו לב: 12 = a · b = 4 · 3 – גם זו תכונה כללית של היפרבולה.
📐 שטח משולש
S = בסיס · גובה2
סעיף ד – שטח המשולש ODE · המשך
שימו לב: 12 = a · b = 4 · 3 – גם זו תכונה כללית של היפרבולה.
✅ פתרון סופי: S = 12
סעיף ה – המרחקים מהמוקדים
מתוך המשוואה: c2 = 16 + 9 = 25 , ולכן F1(−5 , 0) , F2(5 , 0) .
ל־P(5 , 94) ול־F2(5 , 0) אותו שיעור x , ולכן המרחק הוא ההפרש בשיעורי ה־y :
PF2 = 94
הנקודה על הענף הימני, ולכן:
PF1 − PF2 = 2a = 8
📐 הגדרת ההיפרבולה
נציב PF2 = 94 :
📐 הגדרת ההיפרבולה
|PF1 − PF2| = 2a
סעיף ה – המרחקים מהמוקדים · המשך
נציב PF2 = 94 :
PF1 − 94 = 8
PF1 = 8 + 94 = 414
בדיקה בנוסחת המרחק: √102 + (94)2 = √168116 = 414 ✓
✅ פתרון סופי: PF2 = 94 , PF1 = 414
📌 סיכום התשובות
סעיף א
x216 − y29 = 1
סעיף ב
y = 54x − 4 , P(5 , 94)
סעיף ג
האמצע של DE הוא P
סעיף ד
S = 12
סעיף ה
94 , 414
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא